Вычисления вероятностей.
- 13.01.16, 11:34
Процесс вычисления вероятности событий не всегда очевиден. Скажите кому-то, что есть 1 из 100 000 000 шансов на выигрыш в лотерее, и они скажут — «Похоже, кто-то победит!»
Мы не можем обвинять их — есть много ситуаций, когда вероятность похожа на черную магию. Мы подобрали несколько примеров, в которые трудно поверить, но…
1. Перетасовывая колоду карт, вы создаете последовательность, которая никогда ранее не существовала.
Условие:
Допустим, вы сдаете карты в игре в покер. При этом уточним: вы — опытный сдающий, а не один из тех людей, которые просто неумело крутят карты в руках, как дети. Вы мастерски тасуете карты, перебрасываете их из руки в руку, жонглируете, и т. д., пока, в конечном счете, не приходите к выводу, что карты расположены в абсолютно случайном порядке.
Каковы шансы, что конфигурация колоды, которую вы сейчас держите, такая же, как той, которую вы перемешивали в прошлый раз? Один шанс из 1000? Один из 10000? Не забываем, что у нас всего 52 карты.
Решение:
Сейчас вы должны почувствовать себя особенным, потому что почти бесспорно, что конфигурация колоды, которую вы держите в руке, никогда не создавалась ни одним человеком за всю историю человечества на этой Земле, и ни в одной из ее параллельных Вселенных. Вы сейчас держите в руках нечто, что никогда не будет снова создано, отныне и до самого конца времен.
Согласитесь, непохоже, что 52 карты — это много. Но для попытки подсчитать количество возможных комбинаций из этих карт, вам понадобится не один свободный вечер. Общее количество статистических комбинаций колоды из 52-х карт — это то, что известно как «52 факториал», или «52!». Полностью это число выглядит так:
80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277, 824,000,000,000,000. Представьте, что «если бы у каждой звезды в нашей галактике было триллион планет, а на каждой планете жило бы триллион людей, и у каждого человека был триллион колод карт, и они бы перетасовывали карты 1000 раз в секунду и делали это со времен Большого взрыва, то возможно, только сейчас порядок бы повторился».
Если это взрывает вам мозг, подумайте об этом так: есть только 52 карты, но в алфавите почте вдвое меньше букв. А теперь задумайтесь о количестве книг, написанных путем комбинации этих букв. Их невероятно много.
2. Число «пи» можно вычислить, беспорядочно бросив на стол кучу скрепок.
Условие:
Давайте сыграем в быструю игру. Все, что нужно, это листок бумаги, карандаш и горсть скрепок (или иглы, гвозди, или что-нибудь подобное).
Нарисуйте на бумаге две параллельные линии, длиной примерно в две скрепки. Теперь бросьте горсть скрепок на пространство между строками. Неважно, сколько скрепок вы используете, но чем больше, тем лучше, поэтому действуйте смелее.
Возьмите общее количество скрепок, умножьте его на два, затем разделите это число на количество скрепок, которые касаются одной из линий. Таким образом, если бы вы бросили 20 скрепок, и 13 из них касались одной из линий, то вы разделились бы 40 на 13. Число, которое вы получите, будет близко к «Пи». И если вы увеличите количество скрепок, оно будет становиться ближе и ближе.
Решение:
Да, «Пи» — это одна из тех загадочных вещей, которые просто существуют во Вселенной. В данном случае, если предполагается, что даже скрепки были брошены совершенно случайно, все их стороны и положения будут иметь тенденцию к выравниванию.
Почти таким же образом при подбрасывании монета будет иметь тенденцию к равному количеству «орлов и решек», даже при том, что каждый отдельный бросок случаен. И в этом случае, чем дольше вы бросаете монетку, тем более точным становится результат, поскольку постоянство сглаживает статистические отклонения.
3. Вы можете «обмануть» игру «Орел или решка», делая ход вторым.
Условие:
Представим, что кто-то бросает вам вызов в игре «орел-решка». Правила просты — каждый из вас предсказывает последовательность из трех бросков, либо орел, либо решка. Затем вы бросаете монету до тех пор, пока составится одна из ваших последовательностей. Если последовательность вашего соперника появляется первой, вы даете ему 20 $. Если же первой складывается ваша комбинация — его двадцатка ваша. Если вы оба играете честно, кажется, что ваши шансы на выигрыш составляют 50 на 50, не так ли?
Решение:
Даже если у вас нет монет с секретом, зеркал или магнита, и вероятность каждого броска действительно 50 на 50, вы все еще можете манипулировать игрой. У вашего соперника есть 87-процентный шанс обыграть вас, и секрет в том, чтобы сделать свой ход вторым. Допустим, человек, совершивший первый ход, назвал: «орел, орел и решка». Задача второго игрока — запомнить и выполнить два шага:
Ваше первое название должно быть противоположным второму названию соперника. В этом случае — решка.
Ваши второе и третье названия должны совпадать с первыми двумя названиями соперника. В этом случае — орел, орел.
Если вы будете следовать этим правилам, ваши шансы на выигрыш всегда будут выше, иногда незначительно, а иногда и намного больше, чем у соперника. Если вы не верите нам, попробуйте сами и убедитесь. Это называется «нетранзитивная игра». То есть, каждый выбор, который вы можете сделать, либо лучше, либо хуже, чем любой другой возможный вариант. Это практически то же самое, что и игра «Камень, ножницы, бумага», только в этом случае, делая первый ход, вы говорите своему противнику, выбираете вы камень, бумагу или ножницы, прежде чем он сделает свой выбор. Поэтому не ходите первым. Следуя вышеупомянутым правилам, вы почти всегда сможете повернуть все в свою пользу.
4. Вероятность того, что родственник мужчины также мужчина — один к трем (не 50 на 50).
Условие:
Вы встречаете парня по имени, допустим, Чад. Чад говорит вам, что у него есть родственник (брат или сестра), но он больше ничего о нем вам не скажет. Какова вероятность того, что родственник Чада — брат? Должно быть 50 на 50, верно? Тот факт, что Чад - мужчина, не может иметь никакого влияния на пол его родственника.
Решение:
Если Чад - мужчина, то шансы на то, что у него есть брат, опускаются до одного к трем. Добро пожаловать в безумный мир математической вероятности.
Мы знаем то, что Чад - мужчина, но не то, старше он или младше своего родственника. Вы также знаете, что существует четыре возможных гендерных комбинации для двух детей, в зависимости от порядка, в котором они рождаются: мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик, девочка/девочка. Каждая комбинация имеет ровно 1 шанс из 4.
Но подождите! Вы также знаете, что Чад - мужчина, поэтому исключаем комбинацию девочка/девочка. Таким образом, у нас остаются мальчик/девочка, девочка/мальчик или мальчик/мальчик. И в двух из трех случаев у него есть сестра, оставляя только 1 из 3 шансов на то, у него есть брат.
Существует похожий парадокс, под названием «Парадокс Монти Холла». Перед вами три двери — за одной из них новый автомобиль, а за двумя другими — козы. Вы выбираете одну из дверей, но вместо того, чтобы показать ваш приз, ведущий говорит вам, что за какой-то из двух оставшихся дверей есть коза и предлагает изменить решение. Даже при том, что у вас теперь есть две двери для выбора и, казалось бы, шанс 50–50, ваш шанс на то, что вы выбрали правильную дверь, по-прежнему остается 1 к 3. То же самое и с сестрой Чада — даже при том, что, казалось бы, у него могли быть или брат, или сестра, на самом деле у него могли быть брат, сестра или сестра.
5. В небольшой группе людей вероятность того, что у двоих из них день рождения приходится на один и тот же день, составляет почти 100%.
Условие:
Допустим, друг зазвал вас на вечеринку с кучей незнакомых вам людей. И пока вы с чувством огромного дискомфорта стоите в ожидании землетрясения или чего-то ещё, что дало бы веский повод уйти, к вам подходит один из участников праздника и невзначай упоминает, что сегодня у него день рождения.
«Не может быть! — говорите вы, — У меня тоже сегодня день рождения! Неужели это возможно?»
Решение:
При условии, что никто из вас не врет, шансы невероятно высоки. Вероятность того, что в группе всего из 23-х человек у двоих совпадут дни рождения, равна примерно 50%.
Тут легко запутаться: так как в году может быть не более 366 дней (с учетом високосного года), а в группе всего 23 человека, кажется, что вероятность подобного совпадения равна 1 к 15. Это верно, если вы говорите о шансах кого-либо одного разделить свой день рождения с другим человеком. Но мы говорим о двух людях.
Итак, когда вы встречаетесь с кем-то впервые, шанс, что ваши дни рождения совпадут, равен одному из 366. Но и у другого есть такой же шанс! Теперь мы должны перемножить вероятности, что в результате даст один шанс из 122. С увеличением количества людей вероятность того, что дата рождения каждого уникальна, уменьшается намного быстрее, чем вы могли бы предположить — у 10 человек есть 10-процентный шанс совпадения дней рождения, в то время как у 20 человек этот шанс равен уже 40%.
Если вам это все еще кажется колдовством, вы можете взять в Интернете список из 20 случайных людей — например, список игроков спортивной команды. В списке из 25 игроков найдется две пары, празднующих день рождения в один день.
6. Вероятность подсказывает, что «чудеса» — это обычное дело.
Условие:
Мы написали кучу статей об удивительных совпадениях — событиях, которые действительно произошли, несмотря на невероятно низкий шанс. Возьмем один из наших любимых примеров — в 1974 году на Бермудских островах 17-летний подросток ехал на мопеде и был сбит такси. Ровно через год его брат погиб, управляя тем же самым мопедом, на той же улице, тем же самым такси, которое везло того же пассажира. Отличный сюжет для «Секретных материалов».
Решение:
В этой ситуации невозможно рассчитать вероятность, как мы делали выше, потому что вы не можете количественно оценить каждую переменную (т. е. как часто этот пассажир ловил такси на этой улице, как часто братья ездили по той же улице, сколько других транспортных средств сталкивались с ними, и т. д.). Но мы можем попробовать рассчитать шансы на выигрыш в лотерее.
Итак, каковы шансы дважды сорвать джек-пот в лотерее? Уберите свой блокнот, я просто скажу вам — примерно один из нескольких триллионов. Но поищите в Google людей, которые сделали это, и вы получите десятки результатов. Здесь действует тот же принцип, что и в примере с днем рождения выше. Хотя шансы, что это произойдет с каким-либо одним конкретным человеком, ничтожно малы, вероятность того, что это произойдет с кем-то, равна почти 100%. Трудность в понимании вероятности таких вещей заключается в том, что мы считаем себя центром Вселенной. Когда мы задаем вопрос: «каковы шансы?» мы на самом деле имеем в виду: «каковы шансы, что это произойдет со мной?»
Несколько статистиков провели эксперимент, в котором попросили людей рассказать о случившихся с ними невозможных совпадениях, и вычислили, насколько вероятными они были на самом деле. Результат? Чудеса оказались даже еще более приземленными, чем они ожидали.
Когда одна женщина сообщила, что два раза за четыре месяца выиграла в лотерею, они подсчитали, что вероятность этого случая с этой конкретной женщиной была 1 из 17 трлн. Она счастливейшая женщина на планете. Тем не менее, возможность любого человека выиграть в лотерею дважды за четыре месяца близка к 1 из 30. В принципе, это серьезная гарантия того, что кто-то станет невероятно богатым два раза до конца этого года.
Мы не можем обвинять их — есть много ситуаций, когда вероятность похожа на черную магию. Мы подобрали несколько примеров, в которые трудно поверить, но…
1. Перетасовывая колоду карт, вы создаете последовательность, которая никогда ранее не существовала.
Условие:
Допустим, вы сдаете карты в игре в покер. При этом уточним: вы — опытный сдающий, а не один из тех людей, которые просто неумело крутят карты в руках, как дети. Вы мастерски тасуете карты, перебрасываете их из руки в руку, жонглируете, и т. д., пока, в конечном счете, не приходите к выводу, что карты расположены в абсолютно случайном порядке.
Каковы шансы, что конфигурация колоды, которую вы сейчас держите, такая же, как той, которую вы перемешивали в прошлый раз? Один шанс из 1000? Один из 10000? Не забываем, что у нас всего 52 карты.
Решение:
Сейчас вы должны почувствовать себя особенным, потому что почти бесспорно, что конфигурация колоды, которую вы держите в руке, никогда не создавалась ни одним человеком за всю историю человечества на этой Земле, и ни в одной из ее параллельных Вселенных. Вы сейчас держите в руках нечто, что никогда не будет снова создано, отныне и до самого конца времен.
Согласитесь, непохоже, что 52 карты — это много. Но для попытки подсчитать количество возможных комбинаций из этих карт, вам понадобится не один свободный вечер. Общее количество статистических комбинаций колоды из 52-х карт — это то, что известно как «52 факториал», или «52!». Полностью это число выглядит так:
80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277, 824,000,000,000,000. Представьте, что «если бы у каждой звезды в нашей галактике было триллион планет, а на каждой планете жило бы триллион людей, и у каждого человека был триллион колод карт, и они бы перетасовывали карты 1000 раз в секунду и делали это со времен Большого взрыва, то возможно, только сейчас порядок бы повторился».
Если это взрывает вам мозг, подумайте об этом так: есть только 52 карты, но в алфавите почте вдвое меньше букв. А теперь задумайтесь о количестве книг, написанных путем комбинации этих букв. Их невероятно много.
2. Число «пи» можно вычислить, беспорядочно бросив на стол кучу скрепок.
Условие:
Давайте сыграем в быструю игру. Все, что нужно, это листок бумаги, карандаш и горсть скрепок (или иглы, гвозди, или что-нибудь подобное).
Нарисуйте на бумаге две параллельные линии, длиной примерно в две скрепки. Теперь бросьте горсть скрепок на пространство между строками. Неважно, сколько скрепок вы используете, но чем больше, тем лучше, поэтому действуйте смелее.
Возьмите общее количество скрепок, умножьте его на два, затем разделите это число на количество скрепок, которые касаются одной из линий. Таким образом, если бы вы бросили 20 скрепок, и 13 из них касались одной из линий, то вы разделились бы 40 на 13. Число, которое вы получите, будет близко к «Пи». И если вы увеличите количество скрепок, оно будет становиться ближе и ближе.
Решение:
Да, «Пи» — это одна из тех загадочных вещей, которые просто существуют во Вселенной. В данном случае, если предполагается, что даже скрепки были брошены совершенно случайно, все их стороны и положения будут иметь тенденцию к выравниванию.
Почти таким же образом при подбрасывании монета будет иметь тенденцию к равному количеству «орлов и решек», даже при том, что каждый отдельный бросок случаен. И в этом случае, чем дольше вы бросаете монетку, тем более точным становится результат, поскольку постоянство сглаживает статистические отклонения.
3. Вы можете «обмануть» игру «Орел или решка», делая ход вторым.
Условие:
Представим, что кто-то бросает вам вызов в игре «орел-решка». Правила просты — каждый из вас предсказывает последовательность из трех бросков, либо орел, либо решка. Затем вы бросаете монету до тех пор, пока составится одна из ваших последовательностей. Если последовательность вашего соперника появляется первой, вы даете ему 20 $. Если же первой складывается ваша комбинация — его двадцатка ваша. Если вы оба играете честно, кажется, что ваши шансы на выигрыш составляют 50 на 50, не так ли?
Решение:
Даже если у вас нет монет с секретом, зеркал или магнита, и вероятность каждого броска действительно 50 на 50, вы все еще можете манипулировать игрой. У вашего соперника есть 87-процентный шанс обыграть вас, и секрет в том, чтобы сделать свой ход вторым. Допустим, человек, совершивший первый ход, назвал: «орел, орел и решка». Задача второго игрока — запомнить и выполнить два шага:
Ваше первое название должно быть противоположным второму названию соперника. В этом случае — решка.
Ваши второе и третье названия должны совпадать с первыми двумя названиями соперника. В этом случае — орел, орел.
Если вы будете следовать этим правилам, ваши шансы на выигрыш всегда будут выше, иногда незначительно, а иногда и намного больше, чем у соперника. Если вы не верите нам, попробуйте сами и убедитесь. Это называется «нетранзитивная игра». То есть, каждый выбор, который вы можете сделать, либо лучше, либо хуже, чем любой другой возможный вариант. Это практически то же самое, что и игра «Камень, ножницы, бумага», только в этом случае, делая первый ход, вы говорите своему противнику, выбираете вы камень, бумагу или ножницы, прежде чем он сделает свой выбор. Поэтому не ходите первым. Следуя вышеупомянутым правилам, вы почти всегда сможете повернуть все в свою пользу.
4. Вероятность того, что родственник мужчины также мужчина — один к трем (не 50 на 50).
Условие:
Вы встречаете парня по имени, допустим, Чад. Чад говорит вам, что у него есть родственник (брат или сестра), но он больше ничего о нем вам не скажет. Какова вероятность того, что родственник Чада — брат? Должно быть 50 на 50, верно? Тот факт, что Чад - мужчина, не может иметь никакого влияния на пол его родственника.
Решение:
Если Чад - мужчина, то шансы на то, что у него есть брат, опускаются до одного к трем. Добро пожаловать в безумный мир математической вероятности.
Мы знаем то, что Чад - мужчина, но не то, старше он или младше своего родственника. Вы также знаете, что существует четыре возможных гендерных комбинации для двух детей, в зависимости от порядка, в котором они рождаются: мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик, девочка/девочка. Каждая комбинация имеет ровно 1 шанс из 4.
Но подождите! Вы также знаете, что Чад - мужчина, поэтому исключаем комбинацию девочка/девочка. Таким образом, у нас остаются мальчик/девочка, девочка/мальчик или мальчик/мальчик. И в двух из трех случаев у него есть сестра, оставляя только 1 из 3 шансов на то, у него есть брат.
Существует похожий парадокс, под названием «Парадокс Монти Холла». Перед вами три двери — за одной из них новый автомобиль, а за двумя другими — козы. Вы выбираете одну из дверей, но вместо того, чтобы показать ваш приз, ведущий говорит вам, что за какой-то из двух оставшихся дверей есть коза и предлагает изменить решение. Даже при том, что у вас теперь есть две двери для выбора и, казалось бы, шанс 50–50, ваш шанс на то, что вы выбрали правильную дверь, по-прежнему остается 1 к 3. То же самое и с сестрой Чада — даже при том, что, казалось бы, у него могли быть или брат, или сестра, на самом деле у него могли быть брат, сестра или сестра.
5. В небольшой группе людей вероятность того, что у двоих из них день рождения приходится на один и тот же день, составляет почти 100%.
Условие:
Допустим, друг зазвал вас на вечеринку с кучей незнакомых вам людей. И пока вы с чувством огромного дискомфорта стоите в ожидании землетрясения или чего-то ещё, что дало бы веский повод уйти, к вам подходит один из участников праздника и невзначай упоминает, что сегодня у него день рождения.
«Не может быть! — говорите вы, — У меня тоже сегодня день рождения! Неужели это возможно?»
Решение:
При условии, что никто из вас не врет, шансы невероятно высоки. Вероятность того, что в группе всего из 23-х человек у двоих совпадут дни рождения, равна примерно 50%.
Тут легко запутаться: так как в году может быть не более 366 дней (с учетом високосного года), а в группе всего 23 человека, кажется, что вероятность подобного совпадения равна 1 к 15. Это верно, если вы говорите о шансах кого-либо одного разделить свой день рождения с другим человеком. Но мы говорим о двух людях.
Итак, когда вы встречаетесь с кем-то впервые, шанс, что ваши дни рождения совпадут, равен одному из 366. Но и у другого есть такой же шанс! Теперь мы должны перемножить вероятности, что в результате даст один шанс из 122. С увеличением количества людей вероятность того, что дата рождения каждого уникальна, уменьшается намного быстрее, чем вы могли бы предположить — у 10 человек есть 10-процентный шанс совпадения дней рождения, в то время как у 20 человек этот шанс равен уже 40%.
Если вам это все еще кажется колдовством, вы можете взять в Интернете список из 20 случайных людей — например, список игроков спортивной команды. В списке из 25 игроков найдется две пары, празднующих день рождения в один день.
6. Вероятность подсказывает, что «чудеса» — это обычное дело.
Условие:
Мы написали кучу статей об удивительных совпадениях — событиях, которые действительно произошли, несмотря на невероятно низкий шанс. Возьмем один из наших любимых примеров — в 1974 году на Бермудских островах 17-летний подросток ехал на мопеде и был сбит такси. Ровно через год его брат погиб, управляя тем же самым мопедом, на той же улице, тем же самым такси, которое везло того же пассажира. Отличный сюжет для «Секретных материалов».
Решение:
В этой ситуации невозможно рассчитать вероятность, как мы делали выше, потому что вы не можете количественно оценить каждую переменную (т. е. как часто этот пассажир ловил такси на этой улице, как часто братья ездили по той же улице, сколько других транспортных средств сталкивались с ними, и т. д.). Но мы можем попробовать рассчитать шансы на выигрыш в лотерее.
Итак, каковы шансы дважды сорвать джек-пот в лотерее? Уберите свой блокнот, я просто скажу вам — примерно один из нескольких триллионов. Но поищите в Google людей, которые сделали это, и вы получите десятки результатов. Здесь действует тот же принцип, что и в примере с днем рождения выше. Хотя шансы, что это произойдет с каким-либо одним конкретным человеком, ничтожно малы, вероятность того, что это произойдет с кем-то, равна почти 100%. Трудность в понимании вероятности таких вещей заключается в том, что мы считаем себя центром Вселенной. Когда мы задаем вопрос: «каковы шансы?» мы на самом деле имеем в виду: «каковы шансы, что это произойдет со мной?»
Несколько статистиков провели эксперимент, в котором попросили людей рассказать о случившихся с ними невозможных совпадениях, и вычислили, насколько вероятными они были на самом деле. Результат? Чудеса оказались даже еще более приземленными, чем они ожидали.
Когда одна женщина сообщила, что два раза за четыре месяца выиграла в лотерею, они подсчитали, что вероятность этого случая с этой конкретной женщиной была 1 из 17 трлн. Она счастливейшая женщина на планете. Тем не менее, возможность любого человека выиграть в лотерею дважды за четыре месяца близка к 1 из 30. В принципе, это серьезная гарантия того, что кто-то станет невероятно богатым два раза до конца этого года.
