Свечи и огарки

Вроде старая задача и даже, кажется, что была в книжках Мартина
Гарднера.

Условие простое: из огарков (то, что остается
от свечи) семи свечей можно слепить целую свечу. Вопрос: Сколько свечей
всего можно сжечь, если первоначально куплено 92 свечи?

Красивая
задача, не правда ли?

А сколько огарков останется после
сжигания и «восстановления» всех этих свечей?

А зависит ли
количество оставшихся огарков от очередности и набора комплектов
сжигаемых свечей?

Можно ли сразу по количеству свечей узнать
количество огарков? Или по найденным огаркам установить допустимые
количества свечей?

Попытайтесь сами ответить, не хочется лишать
удовольствия подсказками. Если уже наигрались с решениями, то можно
читать дальше. Спалив 7 свечей и слепив из огарков новую свечу, мы, тем
самым, уменьшаем общее количество свечей на 6. Поэтому вопрос
об оставшихся огарках сводится к банальному нахождению остатка
от деления на 6. Для 92 это будет 2 огарка.

Вопрос можно
развить, меняя количество огарков, из которых можно вылепить одну свечу.
Попробуем привести процесс к любимой десятичной системе. Для этого надо
предположить, что свеча слепляется из 11 огарков. Посмотрим, как
работает наша формула. Возьмем 41 свечу. 11 сожгли, одну слепили,
стало 31, потом 21, потом 11, потом 1. Из 42 свечей останется 2.
То есть, количество оставшихся огарков равно последней цифре числа. Если
это нуль, то останется 10 огарков.

В развитие красивой задачи
две сумасшедшие идеи. Первая: а если количество свечей, слепляемых
из огарков будет превосходить количество огарков, то у нас поучится рост
количества свечей. Как его «ухватить» для расчета? Стоит подумать.
И вторая, самая чокнутая задача, «вкусная» для программирования. Пусть
количество свечей, вылепляемых из огарков, зависит от общего количества
горящих свечей. Чем больше свечей горят, тем меньше
их восстанавливаются, а при малом количестве свечей они быстрее
восстанавливаются. Поиграв коэффициентами можно прийти или к устойчивому
равновесию горящих свечей, или колебанию их количества около некоторого
значения, или процесс пойдет вразнос...

После написания
предыдущей колонки пришло грустное известие: 22 мая умер Мартин Гарднер
(Martin Gardner). Мы все состоим немножко из его задачек, моделей
и головоломок. Навскидку: флексагоны, игра «Жизнь», «Гонки»,
топологические забавы, десятки задач: все из его книг... Долгая память
великому затейнику и писателю.